Au 19ème siècle le mathématicien allemand Georg Cantor a posé, dans la théorie des
ensembles dont il est un des fondateurs, un thérorême apparement paradoxal qui a
retenu toute mon attention. J'écris "apparemment paradoxal", car en réalité (selon
moi) il n'y a pas de paradoxe, la démonstration qu'il en fait est simplement fausse,
le théorème l'est aussi mais je me garderai bien d'établir un rapport causal entre
l'un et l'autre.
Le théorème dit ceci :
"L'ensemble N (ensemble des nombres naturels : 1, 2, 3,...)
possède autant d'éléments qu'il contient d'éléments pairs".
Ou exprimé autrement :
dans N les nombres pairs et impairs sont en même nombre que les nombres pairs.
Intuitivement
on perçoit tout de suite que quelque chose cloche dans cette affirmation, mais malgré
ça elle a été démontrée et sa démonstration validée (?!).
Voici les étapes de la démonstration :
1. Soit les ensembles N (ensembles des naturels)
et P (ensembles des naturels pairs).
2. Il est établi (selon la théorie des ensembles)
que s'il existe une application f de E dans F, cette application est bijective si
et seulement si tout élément de l'ensemble d'arrivée F a exactement un antécédent
par f dans l'ensemble de départ E :
Si une relation bijective existe entre 2 ensembles E et F, ces ensembles contiennent
le même nombre d'éléments.
3. Il existe une bijection indiscutable entre N et P, cette
bijection est f(x) = y = 2x :
1 => 2
2 => 4
3 => 6
4 => 8
Etc...
=> Par conséquent N et
P possèdent le même nombre d'éléments.
