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Scripta Manent


L'univers n'est pas plus étrange que nous l'imaginons,
il est plus étrange que nous ne pouvons l'imaginer.
Albert Einstein

Bienvenue dans Scripta Manent, paroles d'Epoc, discours d'un temps.

La Bible, quelque part entre 0 et 1


A force de cotoyer l'infini que ce soit sur les bancs de l'école ou au détour de pensées intérieures, nous finissons souvent par perdre de vue le caractère majestueux de sa gigantesque puissance. Réflexion sur presque rien (un peu plus de zéro), mais pas encore tout à fait quelque chose (moins de un)...

L'ensemble des nombres réel est infini.
Chaque interval fermé choisi dans cet ensemble constitue également un ensemble infini.
[0 1] est un tel interval.
[0 1] comporte un nombre infini de nombres dont celui-ci : 0.06511709911119419410111009910119410111011606810510111709911410109...
Extraits par groupes de 3 et convertis en ASCII les chiffres de ce nombre révèlent ceci :
"Au commencement Dieu créa les cieux..." (Genèse I, 1-3).

Selon le même principe un peu plus loin entre 0 et 1 vous trouverez successivement : Le Coran, Le Livre des Morts (ancienne Egypte), La Bhagavad-Gita, La Torah, etc...

Telle est donc la puissance de l'infini : une minuscule de ses fractions suffit à contenir toute la sagesse humaine.

Vrai faux paradoxe et fausse vraie démonstration


Au 19ème siècle le mathématicien allemand Georg Cantor a posé, dans la théorie des ensembles dont il est un des fondateurs, un thérorême apparement paradoxal qui a retenu toute mon attention. J'écris "apparemment paradoxal", car en réalité (selon moi) il n'y a pas de paradoxe, la démonstration qu'il en fait est simplement fausse, le théorème l'est aussi mais je me garderai bien d'établir un rapport causal entre l'un et l'autre.


Le théorème dit ceci :
"L'ensemble N (ensemble des nombres naturels : 1, 2, 3,...) possède autant d'éléments qu'il contient d'éléments pairs".
Ou exprimé autrement : dans N les nombres pairs et impairs sont en même nombre que les nombres pairs.

Intuitivement on perçoit tout de suite que quelque chose cloche dans cette affirmation, mais malgré ça elle a été démontrée et sa démonstration validée (?!).



Voici les étapes de la démonstration :
1. Soient les ensembles N (ensembles des naturels) et P (ensembles des naturels pairs).
2. Il est établi (selon la théorie des ensembles) que s'il existe une application f de E dans F, cette application est bijective si et seulement si tout élément de l'ensemble d'arrivée F a exactement un antécédent par f dans l'ensemble de départ E :





Si une relation bijective existe entre 2 ensembles E et F, ces ensembles contiennent le même nombre d'éléments.

3. Il existe une bijection évidente entre N et P, cette bijection est f(x) = y = 2x :
    1 => 2
    2 => 4
    3 => 6
    4 => 8
    Etc...

=> Par conséquent N et P possèdent le même nombre d'éléments.

Objection

Le problème réside au niveau de la deuxième étape du raisonnement. Le prédicat : "s'il existe une bijection entre deux ensemble E et F alors ces ensembles contiennent le même nombre d'éléments", possède un espace de validité très strict. Cette affirmation dépend en effet de la relation qui lie les ensembles E et F. S'ils sont disjoints le prédicat est correct :



Par contre si les ensembles ne sont pas disjoints (par exemple si F est inclus dans E), le prédicat devient faux :


L'ensemble P étant un sous-ensemble de N, nous nous trouvons donc bien dans ce second cas, l'existence d'une bijection ne peut donc être invoquée pour conclure que ces 2 ensembles possèdent le même nombre d'éléments.